Есть ли в США экзамены по английскому для трудовых и нетрудовых мигрантов?

Прежде всего, никакого "по гринкард" не существует. Разных способов получения green card есть довольно-таки дохрена, и по каждому есть своя собственная процедура. А по некоторым даже две -- одна для бенефициаров, находящихся в США, другая -- для находящихся за границей.

При оформлении неиммиграционных рабочих виз (H-1B, H-2, L-1) знание английского языка само по себе формально не проверяется. Но можно нарваться на отказ в визе, если налицо явное несоответствие знания языка работе, на которую Вас оформляют. Если Вы оформляете H-2 на уборку клубники, Ваше незнание английского языка никого не удивит. А вот если Вы оформляете H-1B на работу профессором английской литературы, но не в состоянии пообщаться с сотрудником консульской службы, возникает вопрос: кто кому соврал -- Вы нанимателю или наниматель иммиграционной службе? (И то и другое -- потенциально иммиграционное мошенничество.) Но разбираться в этом ни у кого нет ни времени, ни желания -- Вы просто получаете отказ в визе, и на этом все и заканчивается...

При оформлении иммиграции в порядке смены статуса (т. е., когда потенциальный иммигрант находится в США в неиммиграционном статусе и меняет его на иммиграционный) никаких формальных проверок опять-таки нет. Но если иммиграция трудовая, см. выше про профессора английской литературы.

При натурализации (приеме в гражданство) есть тест. Он состоит из двух частей.

Первая часть -- устные ответы на вопросы из области географии, истории и политической системы США. Возможных вопросов ровно 100, они сведены в специальный буклет, который иммигрант заблаговременно получает на руки (обычно при сдаче отпечатков пальцев для проверки криминальной истории), а если похерит -- электронная версия лежит на сайте иммиграционной службы. В ходе собеседования сотрудник иммиграционной службы задает Вам до десяти случайно выбранных вопросов из буклета (их выбирает компухтер и распечатывает их для сотрудника иммиграционной службы вместе со всей прочей информацией, которая ему нужна для проведения собеседования). Как только Вы правильно отвечаете на шесть, вопросы прекращаются. Если Вы не смогли правильно ответить на шесть из десяти -- это провал, приходите к нам исчо.

Вторая часть -- нужно написать от руки одно предложение (что-нибудь типа "George Washington was the first president of the United States") под диктовку сотрудника иммиграционной службы, проводящего собеседование. Причем пишете Вы на той же самой бумаШке, на которой распечатаны вопросы, которые Вам задавались.

Нет таких экзаменов в природе, есть экзамен на получение гражданства

Есть, конечно. И не только по языку, но и по истории и по знанию законов.