Орфография русского языка.

Первое слово после кавычек может писаться как с большой (прописной) буквы, так и с маленькой (строчной). Всё зависит от того, для чего поставлены кавычки.

С БОЛЬШОЙ БУКВЫ пишется первое слово при условии, что после открывающих кавычек начинается прямая речь, в том числе и цитата, которая вводится в предложение как прямая речь:

● М. Горький писал: «Книга – источник знаний».

ПРАВИЛО: прямая речь заключается в кавычки, а первое слово в ней пишется заглавной буквы.

С МАЛЕНЬКОЙ БУКВЫ первое слово пишется при цитировании – если цитата вводится другими способами, не как прямая речь, а продолжает Ваше предложение в качестве дополнения, или входит в придаточное предложение, или при ней есть вводная конструкция.

● М. Горький в книге видел «источник знаний».
● М. Горький считал, что «книга – источник знаний».
● По словам М. Горького, «книга – источник знаний».

ПРАВИЛО: если цитата – это дополнение, или она входит в придаточную часть сложного предложения, или вводится с помощью вводных слов, то саму цитату начинают с маленькой буквы, даже если в источнике она писалась с большой. (https://fb.ru/article/172231/oformlenie-tsitat-primeryi-pravila-oformleniya-pryamoy-rechi-i-tsitat).

В Вашем случае речь идёт о предложении с самой обычной прямой речью, так что начинаем её, то есть прямую речь, после кавычек только С БОЛЬШОЙ (ПРОПИСНОЙ) БУКВЫ:

● Миша мне сказал: «Выходи на двор!»

Табличка из Интернета со схемами расстановки знаков препинания в предложениях с прямой речью и указанием, что в них пишется с большой, а что с маленькой буквы, Вам в помощь.
.

Правильно - с заглавной.
В русской литературе встречаются оба варианта. С маленькой буквы - намного реже.

1
h ttp://gramota.ru/class/coach/punct/45_192
ht tp://lingvotech.com/znaki_prepinaniya_pri_pryamoy_rechi