Докажите, что в произведении p= 1! х2! х... х100! можно вычеркнуть один из сомножителей так , чтобы произведение оставши

Подсчитаем, сколько раз входит каждое число от 2 до 100 в произведение.

2 входит во все факториалы, начиная со второго, т. е. 99 раз
3 входит во все факториалы, начиная с третьего, т. е. 98 раз
n входит во все факториалы, начиная с n, т. е. 101 – n раз
1! *2! *3! *... *100! = 2^99 * 3^98 * 4^97 * ...* 97^4 *98^3 *99^2 * 100.
Все нечётные числа входят в произведение чётное число раз,
чётные — нечётное число раз.
Выделим из этого произведения произведение всех чётных чисел, взятых по одному разу:
1! *2! *3! *... *100! = 2^99 * 3^98 * 4^97 * ...* 97^4 *98^3 *99^2 * 100=
= (2^98 *3^98 * 4^96 * ...* 97^4 * 98^2 * 99^2) * (2 * 4 * 6 * ...*98 * 100).
В первой скобке степени чётные, произведение этих чисел — квадрат целого числа.
Во второй скобке вынесем 2 из каждого множителя
2 * 4 * 6 * ...*98 * 100= (2 * 1) *(2 * 2) * (2 * 3) * ...* (2 * 49) * (2 * 50) =
= 2^50* 1 * 2 * 3 * ...* 49 * 50 = 2^50* 50!.
Так как 2^50=(2^25)^2 — квадрат целого числа, то зачеркнуть 50!, получим произведение, которое будет квадратом целого числа.