Помогите решить. P(n) — произведение ненулевых цифр n. Найти P(1)+...+P(2010).

Сначала расмотрим однозначные:

Σₓ = P(1) + P(2) + … + P(9) = 1 + 2 + … +9 = 45.

Теперь двузначные. Отдельно посчитаем те, у которых есть ноль (вида x0), и те, у которых нуля нет (вида xx):

Σₓ₀ = P(10) + P(20) + … + P(90) = Σₓ = 45;

Σₓₓ = P(11) + P(12) + … + P(99) = 1·1 + 1·2 + … + 9·9 =
= 1(1 + 2 + … + 9) + 2(1 + 2 + … + 9) + … + 9(1 + 2 + … + 9) = (1 + 2 + … + 9)² = 45² = 2025.

Теперь трёхзначные. Разобьём их на четыре группы: (x00), (x0x), (xx0), (xxx):

Σₓ₀₀ = Σₓ = 45;
Σₓ₀ₓ = Σₓₓ = 2025;
Σₓₓ₀ = Σₓₓ = 2025;
Σₓₓₓ = 45³ = 91 125.

Четырёхзначые. Нам нужны не все, а только от 1000 до 2010. Учтём сначала числа от 1000 до 1999:

Σ₁₀₀₀₋₁₉₉₉ = P(1000) + Σ₁₀₀ₓ + Σ₁₀ₓ₀ + Σ₁₀ₓₓ + Σ₁ₓ₀₀ + Σ₁ₓ₀ₓ + Σ₁ₓₓ₀ + Σ₁ₓₓₓ =
= 1 + Σₓ + Σₓ + Σₓₓ + Σₓ + Σₓₓ + Σₓₓ + Σₓₓₓ = 1 + 3·45 + 2·2025 + 91 125 = 95 311.

И, наконец, четырёхзначные от 2000 до 2010:

P(2000) + P(2001) + P(2002) + … + P(2009) + P(2010) =
= 2 + 2·1 + 2·2 + … + 2·9 + 2·1 = 2 + 2·45 + 2 = 94.

ИТОГО: 45 + 45 + 2025 + 45 + 2025 + 2025 + 91 125 + 95 311 + 94 = 192 740.