объясните пожалуйста, слитное и раздельное написание не

НЕ с существительными, прилагательными и наречиями на -О, -Е пишется слитно, если:
- слово не употребляетcя без НЕ;
- слово с НЕ может быть заменено синонимом без НЕ или близким по значению выражением.
НЕ с существительными, прилагательными и наречиями на -О, -Е пишется раздельно, если:
- в предложении есть или подразумевается противопоставление (с союзом А или без него) ;
- если к прилагательным и наречиям относятся слова ВОВСЕ, ДАЛЕКО, НИЧУТЬ, ОТНЮДЬ, НИСКОЛЬКО, НИКОГДА, СОВСЕМ и др.

При чем здесь "вставить слово"? Есть конкретные правила:
1) если слово без НЕ не употребляется (ненавистный, невежественный) - пишем слитно;
2) НЕ с глаголами пишем раздельно (не пришел, не выучил, не позволил) ;
3) если слово с НЕ можно заменить синонимом, аналогичным по смыслу словом без НЕ, тогда пишем слитно (в вашем примере: неинтересная новость = скучная новость, неуловимое движение = легкое/скрытое движение, незамеченная ошибка = закравшаяся/забытая ошибка)
4) если есть противопоставление с союзом "а" - пишем раздельно (не серьезный, а легкомысленный человек)
5) если есть словосочетание "еще не", "уже не", "ничуть не" - пишем раздельно (еще не решенная задача, уже не нужный предмет)

ещё не решённая задача

неуловимое движение-слитно
незамеченная ошибка-слитно
неинтересная новость-слитно
еще не решённая задача-раздельно
Не с причастиями пишется раздельно:
1.с краткими причастиями
2.с полными причастиями, при которых есть зависимые слова или противопоставление с союзом а
Урок не закончен
Урок не законченный, а начатый.
Не пишется слитно, с полными причастиями
1.если оно без не не употребляется
2.если при них нет зависимых слов и противопоставлений
недоумевающий взгляд
незакончившееся собрание

В 4-ом случае. Не с причастием пишется раздельно, когда при нем есть зависимое слово - в данном случае "еще".

В данном случае в 4 пишется раздельно, так как есть слово ЕЩЕ. Во всех остальных примерах слитно пишется.
еще не решенная задача

Если между словом и НЕ можно вставить слово, например Не очень уловимое - значит раздельно.
Если нельзя -значит слитно.

В некоторых случаях опирайся на правила)