Слово "цИркуль" считается непроверяемым?

Правописание слова "ЦИРКУЛЬ"
Это словарное слово.

Обратимся к орфографическому правилу правописания буквы И после Ц.
Согласно орфографическому правилу в корне слов после буквы Ц пишется буква И,
невзирая на произношение.

НО есть слова-исключения и их производные.

Ударные гласные не требуют проверки

да, это слово надо запомнить

Проверяемые безударные гласные - те безударные гласные, которые можно проверить способом подбора однокоренного слова, где эта гласная находится под ударением.
Все остальные - непроверяемые (в т. ч. чередование гласных в корне слова и словарные слова).

Да . Но мнемоническое стихотворение для того, чтобы, запомнить, И или Ы писать в корне после Ц, есть. Ы только в следующих словах: ЦыгАн на цыпочках к цыпленку подошел, "Цыц! "- цыкнул на него, и тот ушел. Что касается проверяемых-непроверяемых, проверяются не только безударные ударением, но и непроизносимые подбором родственного с гласным рядом (хрустнуть-хрустит) , и озвонченные и оглушенные так же: кось/ЗЬ/ба -косить, пруд/Т/ -прудик. Правда, иногда произношение закрепляется на письме: слово СВАДЬБА нельзя проверять словом СВАТАТЬ, хотя они и родственные.

есть правило после шипящих в корнях слова под ударением пишется звук о и обозначается буквой ё если при изменение формы слова или образования родственного слова в этом корнеизвук о не слышится в остальных случаях звук о обозначается буквой о

Циркуль это словарное слово надо запомнить. Орфограмма непроверяемая гласная.

слово с орфограммой -и , -ы после ц.
В КОРНЕ СЛОВА ПОСЛЕ -Ц- ПИШЕТСЯ -И- ВО ВСЕХ СЛОВАХ КРОМЕ СЛОВ ИСКЛЮЧЕНИЙ.