в какой день года длина тени в полдень будет самая большая

В день летнего солнцестояния.

Какова географическая ШИРОТА места? От этого зависит очень многое.. . Возможны ЧЕТЫРЕ варианта ответа в зависимости от широты места:
1) Например, на Северном и Южном полюсе - это дни весеннего и осеннего равноденствий. В эти дни Солнце в полдень будет находится на горизонте на полюсах.
2) Очень сложно, практически невозможно ответить на этот вопрос, если это место находится между полюсами и полярными кругами. Без проведения сложных расчетов можно сказать так: если между Северным полюсом и Северным полярным кругом, то это дата между днем осеннего равноденствия и зимнего солнцестояния, а если между Южным полюсом и Южным полярным кругом, то это дата между днем весеннего равноденствия и летнего солнцестояния. А точные даты будут зависеть от широты местности за полярными кругами.
3) Если же это место находится между северным полярным кругом и экватором - то это день ЗИМНЕГО солнцестояния.
Если же это место находится между южным полярным кругом и экватором - то это день ЛЕТНЕГО солнцестояния.
Это самые простые подварианты, которые тебе кое-где правильно указали в предыдущих ответах на твой очень непростой вопрос.. .
4) А вот на самом экваторе опять, как и на полюсах, будут ДВЕ такие даты, только эти даты будут другими - длина тени на экваторе в полдень будет максимальной и в день летнего, и в день зимнего солнцестояния. Только тени будут направлены в разные стороны)) )
Я очень сильно опасаюсь, что учитель, задавший тебе этот вопрос, сам-то не знает на него правильно ответа.. . Спроси у него, когда самая длинная тень от предмета на Северном полюсе?) ) В день зимнего солнцестояния Солнце на северном полюсе вообще не восходит.. . Там полярная ночь будет. Оно взойдет только в день весеннего равноденствия.. .
А вообще я по ответам смотрю, небесную механику народец-то у нас слабовато знает.. . Да, печально.. . Вот и астрономию в школах перестали преподавать...

самый короткий день - самая длинная тень. Где-то около 22 декабря. Но это только в северном полушарии. В южном около 22 июня.

День зимнего солнцестояния

23