По каким причинам могут не допустить к ОГЭ? И могут ли вообще такое сделать?

Давай попробуем разобраться:

Следует отметить, что в отношении обучающихся в 9 классе, недопущенных к сдаче ГИА по причине наличия академической задолженности действуют следующие положения закона.
В соответствии со статьей 58 указанного закона обучающиеся обязаны ликвидировать академическую задолженность.

Обучающиеся, имеющие академическую задолженность, вправе пройти промежуточную аттестацию по соответствующим учебному предмету, курсу, дисциплине (модулю) не более двух раз в сроки, определяемые организацией, осуществляющей образовательную деятельность, в пределах одного года с момента образования академической задолженности.

Обучающиеся в образовательной организации по образовательным программам начального общего, основного общего и среднего общего образования, не ликвидировавшие в установленные сроки академической задолженности с момента ее образования, по усмотрению их родителей (законных представителей) оставляются на повторное обучение, переводятся на обучение по адаптированным образовательным программам в соответствии с рекомендациями психолого-медико-педагогической комиссии либо на обучение по индивидуальному учебному плану.
В данном случае полагаем, что образовательное учреждение вводит Вас в заблуждение относительно дальнейшего порядка действий Вашего сына по получению основного общего образования. Предлагаем обратиться к учредителю ОУ, в котором обучается Ваш сын, с жалобой на действия ОУ или в прокуратуру и обжаловать факт незаконного отчисления из школы в нарушение требований статьи 58 Закона Об образовании в РФ.
В том числе вы можете ссылаться на текст Письма Минобрнауки России от 24.04.2014 N НТ-443/08 "О продолжении обучения лиц, не прошедших государственной итоговой аттестации по образовательным программам основного общего образования" в котором также указывается, что обучающиеся не завершившие 9 классов оставляются на повторное обучение.

Если ребенок останется на второй год - он будет числиться в контингенте школы и должен будет посещать все занятия, предусмотренные учебным планом. Если в школе принято положение об обучении по индивидуальному учебному плану - учащийся может перейти на обучение по индивидуальному учебному плану и посещать например только часть занятий.

Также есть возможность перейти на семейное обучение (только по вашей инициативе на основании заявления), в этом случае учащийся будет отчислен из школы, на основании заявление в управление образования он будет числиться как проходящий обучение в форме семейного образования, всю программу придется осваивать самостоятельно, а в школе лишь пройти промежуточную аттестацию.

Вы также можете настаивать на повторном прохождении промежуточной аттестации до принятия решения о допуске к ГИА и попытаться исправить оценки. Вы можете обозначить позицию о том, что из школы вы не уйдете и просить дать возможность сдать ГИА.

По причине смерти.

Могут! За шпоры.