Какой частью речи является слово "попить" в предложении "Думаю стоит сходить купить попить"?

Это предложение состоит из пяти глаголов, причём три из них (сходить, купить и попить) – в начальной (неопределённой) форме (инфинитивы).

Инфинитивы в предложениях могут быть любым членом, поэтому как к члену предложения к инфинитиву можно задать вопросы и подлежащего, и сказуемого, и дополнения, и определения:
◆ думаю что? о чём? стоит сходить – дополнение, выраженное цельным словосочетанием с инфинитивом;
◆ сходить зачем? с какой целью? купить – обстоятельство цели?
◆ купить что? попить – дополнение.

ПОПИТЬ – это глагол, инфинитив, который в предложении является дополнением, поэтому как часть речи и как член предложения это слово отвечает на разные вопросы:
◆ как часть речи – на вопрос ЧТО СДЕЛАТЬ?
◆ как член предложения – на вопрос ЧТО?

Слово может менять свою часть речи, но не глагол.

Есть такой способ словообразования, как переход из одной части речи в другую:
◆ ЖИВОТНЫЕ (прилагательное) инстинкты – дикие ЖИВОТНЫЕ (существительное);
◆ люди, ТРУДЯЩИЕСЯ (причастие) на поле – ТРУДЯЩИЕСЯ (существительное) вышли на демонстрацию;
◆ проходил МИМО (наречие) – иду МИМО (предлог) твоего дома.

Морфология не синтаксис; всегда рассматривается отдельное слово.

Слово «попить» всегда глагол.

Существительное, русский язык богат.

поясню уже высказанную мысль - часть речи слова не зависит от его местонахождения в предложении. "попить" - глагол, независимо от контекста.
рискну предположить, что возникла путаница в терминологии, и вас интересует, каким членом предложения он является. зададим вопрос: купить (что?) попить. в этом предложении "попить" является дополнением. слово может быть разными членами предложения в зависимости от контекста, но часть речи каждого слова неизменна.