А может ли гражданин выбрать поликлинику по своему желанию?

Можно.
Нужно просто обратиться в понравившуюся поликлинику и написать заявление о том, что Вы хотите быть приклеплены именно к ней.
Важный аспект:
а) . если Вы прикреплены к другой поликлинике (по месту регистрации) , но данное прикрепление действует уже более полугода (обычно прикрепление прописывается в полисе ОМС) - Вы спокойно можете прикрепляться к понравившейся поликлинике и Вам не имеют права отказать;
б) . если Вы прикреплены к поликлинике по месту регистрации менее полугода - Вам придется подождать.

Если по полису - то нет!! ! Обслуживание пациентов по страховому полису производится только по месту регистрации такового.
Платно - теоретически возможно, по дополнительному добровольному полису страхования, возможно даже что полис этот можно оплатить в данном учреждении здравоохранения. Но таковых крайне мало. Да и услуги платные - не дёшевы. Обычно это областные (краевые) диагностические центры, лечебные стационары приём сторонних пациентов не ведут.
Сейчас идёт разработка Закона, который с 01.01.2011 года разрешит приём больных любым вами (нами) выбранным поликлиникам по единому полису (их начнут выдавать в феврале2011 года) по крайней мере обещают.. . Как это будет выглядеть не знают даже медработники.
В поликлиниках и по территориальному признаку постоянно очереди больных, а если из дальних (периферийных) пациенты ринутся в центральные, городские, областные.... Готовы ль поликлиники принять ещё больший объём.. . И вновь станет популярной реплика: понаехали тут!! !
А в сельской местности поликлиник нет совсем!! ! Так куда им податься!!!

За Ваши деньги любой Ваш каприз выполнят сейчас.

Любой каприз, за ваши деньги

может любую, находящуюся на территории РФ.