Нужна бесплатная программа для учета входящих писем.

ДокПартнер – удобная программа для учета внутренних документов и корреспонденции. Программа позволяет:
- вести учет внутренних документов (приказов, распоряжений и т. п.)
- вести учет входящей/исходящей корреспонденции (факсы, e-mail, почтовые письма и т. п.)
- формировать наглядные и полезные отчеты.
С помощью программы Вы сможете назначать список ответственных за согласование документов с последующим отслеживанием статуса с уведомлением о согласовании. Программа предназначена всем, чья работа связана с документами и кто желает упростить учет и контроль документов и корреспонденции.
Бесплатная версия не имеет ограничений по функциональности и времени использования.
Вы можете использовать демоверсию в рабочем режиме (с указанными ограничениями). После приобретения полной версии программы вы можете использовать данные, наработанные в бесплатной версии.

Thunderbird - простая и удобная бесплатная программа для работы с электронной почтой от Mozilla. Программа поддерживает протоколы SMTP, POP3, IMAP и RSS. Имеет встроенный HTML редактор, который создает довольно компактный код, что в свою очередь уменьшает итоговый размер отправляемых писем в несколько раз.

Я правильно вас понял: вам нужна почтовая программа, т. е. почтовый клиент? Ну, так их же - вагон и маленькая тележка! В т. ч. и бесплатных. Начиная с Outlook.
А тот, кто вам этот Гран-Док продал, небось, неплохо на вас заработал!

Бесплатная система электронного документооборота? Никогда не встречал. Сугубо коммерческий продукт.

Для учета входящей и исходящей корреспонденции в организации подойдет программа "Ведок". Система позволяет вести единый реестр всех поступающих писем и ответов на них, автоматически ведет нумерацию в разрезе года и по разным группам документов. Можно формировать печатную форму исходящих писем по заранее установленному шаблону. Доступна постановка задач и поручений по документам и отслеживание их исполнения. Подробнее о возможностях можно прочитать на сайте программы https://vedoc.biz/vozmozhnosti/registratsiya-dokumentov.html