электрическую лампу сопротивлением 240Ом, рассчитанную на напряжение 120В надо питать от сети напряжением 220В ...

по закону Ома для участка цепи сопротивление равно отношению напряжения к силе тока. Тогда допустимая сила тока:
I = 120/240 = 0.5А
Во втором случае сила тока должна быть такой же =>
R = 220/0.5 = 440Ом
При последовательном соединении сопротивления суммируются, значит, добавочное сопротивление:
R` = 440 - 240 = 200Ом
Сопротивление находится по формуле:
R = rl/S, где r - удельное сопротивление проводника
Выражая из формулы, найдем:
l = RS/r = 200*0.55/1.1 = 100м

Нафига ставить гасящее сопротивление на котором будет в тупую рассеиваться мощность, достаточно поставить гасящий конденсатор.

Лампа рассчитана на ток
I=U/R=120/240=0,5A
Значит при 220В общее сопротивление должно быть
R=U/I=220/0,5=440Ом
Нужно добавить
440-240=200 Ом
Из формулы R=ρ*l/S
l=RS/ρ =200*0,55/1,1=100 м

Включи 2 лампы последовательно

Если это задачка по физике, то она некорректна - сопротивление холодной лампы накаливания в 10 раз меньше, чем её же сопротивление в рабочем режиме. Если считать, что лампа в 240 Ом питается от 120 вольт и это её "рабочее" сопротивление, то через неё течёт ток в 0,5 ампера. Мощность её при этом 60 ватт. Похоже на правду.
Нужно сделать из нихромового провода сопротивление такое, чтобы на нём при том же токе падало 100 вольт. Для тока в 0,5 ампера нужно 200 Ом.
Удельное сопротивление нихрома 1,1*10:-6 Ом*м, это значит, что проводник сечением 1 мм2 и длиной 1 м будет иметь сопротивление 1,1 Ома. Если сечение не 1 мм2, а 0,55 мм2, то сопротивление будет 1,1/0,55=2 Ом на каждый метр. А надо 200 Ом. Значит, 100 метров провода. Его надо свить в спираль :)

Действительно, не надо так париться! Надо уехать жить в США, там напряжение в сети 120 В!
А если по делу, то для нормальной работы лампы надо последовательно с ней включить такое сопротивление, чтобы на нем при нормальном для лампы токе падало лишнее напряжение.
Итак:
нормальный (рабочий) ток лампы 120В/240 Ом = 0,5А.
лишнее напряжение 220 В - 120 В = 100 В
Значение добавочного сопротивления R = 100В/0,5А = 200 Ом
Удельное сопротивление нихрома (табличное значение) в среднем r = 1, 1 *10^(-6) Ом/м, сопротивление проводника длиной L будет равно R = ( r*L)/S, откуда L = (R*S)/r = 200*0,55*10^(-6)/1,1*10^(-6) = 100 м

Зачем идти на потери мощности на нихромовом сопротивлении или вешать громоздкий трансформатор? Просто подключите две лампы последовательно, получится по 110 вольт на каждую лампу, и все. Получится просто и ярко!

Зачем такие сложности?? ? просто поставить понижающий трансформатор на 120V и всё!