С помощью уравнения можно описать абсолютно любую кривую на графике ?

Вопрос-то не тривиальный. На первый взгляд может показаться, что да, но вряд ли это кем-то доказано. Ведь если существует или найдется такая кривая, которую описать невозможно, то значит нет. С другой стороны, в виде бесконечного ряда слагаемых можно представить любую функцию. Это доказано. И такие разложения в анализе назывваются рядами. На практике наиболее часто используются разложения Тейлора, гармонические разложения. Но любую ли кривую, которую можно вообразить, можно будет представить в виде функции - этот вопрос непростой и требует доказательств. Впрочем, если речь идет о графике функции какой-то реальной физической величины, то они всегда непрерывны и достаточно гладкие, поэтому ответ однозначно "да". Что касается математических функций, а тем более случайных (нарисованных) кривых, то думаю, что не всегда, но точно назвать готовые примеры затрудняюсь.

Теоретически, да. Правда, уравнение может оказаться длиной в три толстых тома :-)

только с какой-то точностью. число стандартных функций типа синусов, многочленов и логарифмов невелико, а непрерывных функций континуум.

потому математикам и приходится вводить дополнительные типа функций Бесселя.

На то интегралы и придумали.

С помощью функции. Можно, конечно, записать ее и как уравнение. Да.

Дифферинциировать по касательным и интегрировать - чего проще!
Любые детские каракули - запросто!
Жизни не жалко?

Векторная графика в векторных ПО, позволяет переводить растр в вектор (разные алгоритмы есть, и все криво работают, но работают)
Да, абсолютно любую фигуру можно описать функцией