Пассивная антенна + инжектор питания = активная антенна?

не, не будет. Чтоб она стала активной, к ней следует добавить усилитель.

Активная антенна - это антенна со встроенным усилителем.

Способ запитки этого усилителя при этом на определение никак не влияет: хоть по коаксиальному кабелю через сепаратор (инжектор) ,
хоть отдельным проводом, хоть батарейкой у самой антенны - похер.

Активная = содержит свой усилитель в составе
Пассивная = никаких усилителей, прямой съем сигнала с резонатора.

Что касается улучшения приема...

Уже не раз распинался, что усилитель не улучшает сигнал, а лишь усиливает его.

В чем разница? Если у тебя сигнал хорошо отличается от фоновых помех, но он слабый, то усилитель поможет его продавить через кабель без потерь.
Если изначально антенна не чувствует полезный сигнал на фоне помех - то на выходе нихрена нового не вырастет, будет такое же месиво помех и тонущего на их фоне сигнала, просто усиленные.

Усилитель не выделяет полезный сигнал от помех, от усиливает все одновременно одинаково. Соотношение сигнала и помех не меняется.

Если изначально до антенны не долетает полезный сигнал (или антенна - ненаправленное г-вно) - усилитель бесполезен.

Если долетает, но кабель слишком длинный или разветвители гасят его - усилитель будет в тему.

Активная=со встроенным усилителем. Что будет запитывать инжектор если уся нет?

Нет, к пассивной антенне надо докупить вибратор из секс-шопа.

Ну, 2 усилинение. Даже лучше