Можно ли ездить по городу и по трассе на квадрацикле

нет нельзя:
Права тракториста-машиниста категории "А" - мототранспортные средства, не предназначенные для движения по автомобильным дорогам общего пользования (внедорожные мотосредства) .

далее:
Из письма Гостехнадзора Московской области от 20 июня 2007 года N 03-26/449
Четырехколесные мототранспортные средства подразделяются по предназначению на две группы: квадрициклы и мотовездеходы, каждая из которых идентифицируется по своему государственному стандарту.
ГОСТ Р 51815-2001. КВАДРИЦИКЛЫ. Общие технические требования. Квадрициклы - четырехколесные мототранспортные средства с максимальной конструктивной скоростью не менее 25 км/ч, максимальной мощностью двигателя не более 15 кВт, снаряженной массой не более 400 кг (550 кг для транспортных средств, предназначенных для перевозки грузов) без массы аккумуляторных батарей в случае электрических транспортных средств, предназначенные для движения по дорогам общего пользования.
Квадрициклы отнесены к категории L7 классификации комитета по внутреннему транспорту европейской экономической комиссии ООН (КВТ ЕЭК ООН) и к категории А транспортных средств по классификации конвенции о дорожном движении (Положение о паспортах транспортных средств..., зарегистрировано в Минюсте РФ 29 июля 2005 г. N 6842). Таким образом, они сертифицируются с выдачей Одобрения типа транспортного средства, обеспечиваются органами ФТС паспортами транспортных средств (ПТС) и регистрируются в органах ГИБДД.
Исключение из данной группы составляют квадрициклы, имеющие максимальную конструктивную скорость 50 км/час и менее, которые подлежат регистрации в органах Гостехнадзора, они обеспечиваются органами ФТС паспортами самоходных машин (ПСМ) в соответствии с Постановлением Правительства Российской Федерации от 12.08.1994X9 938.
ГОСТ Р 52008-2003. СРЕДСТВА МОТОТРАНСПОРТНЫЕ ЧЕТЫРЕХКОЛЕСНЫЕ ВНЕДОРОЖНЫЕ. Общие технические требования.
Настоящий стандарт распространяется на мототранспортные внедорожные четырехколесные средства (далее - мотовездеходы) с шинами, внутреннее давление в которых не более 69 кПа (0,7 кгс/см2), имеющие сиденье с мотоциклетной посадкой и руль мотоциклетного типа, предназначенные для перевозки движения только одного человека (водителя) и движения вне дорог общего пользования.
Вышеуказанные мотовездеходы не подлежат обязательной сертификации и относятся к внедорожным мотосредствам, их регистрация осуществляется в органах Гостехнадзора, со стороны органов ФТС они обеспечиваются паспортами самоходных машин (ПСМ) .
Импортные четырехколесные мототранспортные средства в сопроводительной документации (Инструкция по эксплуатации, Руководство пользователя и т. п. ) могут содержать сокращенное обозначение ATV (All Terrain Vehicle - транспортное средство для движения по бездорожью) , что указывает на их принадлежность к мотовездеходам. Такие машины, как правило, имеют и мощность двигателя, превышающую указанный верхний предел для квадрициклов, что также идентифицирует их как мотовездеходы.
Уместно напомнить, что все иные машины, не входящие в категорию мотовездеходов, но предназначенные для движения вне дорог общего пользования (например, снегоболотоходы) , также регистрируются органами гостехнадзора (Постановление N 938) и для них оформляются паспорта самоходных машин.

регистрируйте как самоходное тс, получайте права тракториста и вперед

мы шпуляем, у вас сомневаюсь

К сожалению нельзя, но даже на покатушках по грязи нужно иметь тракторные права.

нельзя.

на таком точно можно можно!

нет. нельзя

если есть права и мото зарегистрировано - то почему бы и нет !

По моему в законе квадроцикл относится к внедорожным транспортным средствам и поэтому он не имеет права ездить по дорогам общего пользования. Кроме того для вождения квадроцикла нужно иметь удостоверение тракториста-машиниста, а получение оного в органах гостехназора не предусматривает сдачи правил дорожного движения в полном объеме. Кроме того на асфальте внедорожная резина быстро стирается и получается что в любом случае ехать лучше по обочине.
В городе же обочин нет а при езде по тротуарам создается очень большая опасность для пешеходов.