Можно ли по туристической визе уехать в США, остаться там жить, купить квартиру и работать?

ну и дурак друг вашей мамы, поскольку амнистии нелегалам прикрылись и у него никогда не будет шанса получить легальный статус, а значит- купить квартиру, работать на нормальной а не тупой работе, учиться и так далее, к тмоу же сейчас грядет реформа в рамках котрой будет специальная служба отлавливающая нелегалов и выпинывающая их из страны. Покупка жилья не дает права даже на турвизу, про работу вообще можете не заикаться. Прошло то время когда нелегалам что то светило- все страны прикрыли амнистии и возможности легализоваться

Работать сложно. Никто нелегала на белую работу не возьмет. И со страховкой будут проблемы. Заболеете - как лечиться, если страховки нет?

Наличие недвижимости не дает права на ВНЖ. Остаться с туристической визой означает остаться нелегально, а нужно это Вам или нет - решайте сами.

Просто так - нет, нельзя. Для того, чтобы жить и работать в США нужны основания для иммиграции:
- по приглашению близкого родственника или жениха/невесты - гражданина США,
- по приглашению американского работодателя (только для востребованных специалистов с высшим образованием) ,
- путем перевода внутри международной компании в ее американское отделение,
- получив политическое убежище (только если доказан факт преследования на Родине) ,
- на основании выдающегося таланта,
- на основании инвестиций в американскую экономику (не менее 500 тыс. долларов) ,
- выиграв в лотерею грин-карт (шансы выиграть очень малы, ближайший розыгрыш будет с 1 октября по 2 ноября) .

Если ни одного из них нет, легально жить в США нельзя. Покупка недвижимости основанием для иммиграции не является (более того, она не гарантирует даже получение туристической визы) .

А "друг Вашей мамы" либо попросил убежище, либо женился на американке. Ну или остался там нелегально, естественно.

Они там все нелегалы, колонисты и прочий сброд кроме индейцев.

можно.
Апу Нахасапимапетилон не помню в какой серии Симпсонов сдал экзамен и получил гражданство в США, хотя был нелегалом до этого.