Что нужно чтобы получить загранпаспорт в посольстве РФ в другой стране?

На каком основании и для чего?
Стандартный набор документов нужен, кроме справки из военкомата. + могут быть дополнительные сборы, + процесс может затянуться до полугода ну и основания нужны.
Ещё вам его могут по почте прислать. Из консульства.

Даже, если вдруг, ваш загранпаспорт просрочен, вас выпустят из США. В этом случае, даётся срок в один месяц, чтобы вы покинули страну.

нужно иметь пмж как минимум в этой стране

Все те же самые, что и при оформлении паспорта в стране проживания... Условие - вы должны находится в стране пребывания легально...

Комментарии в предыдущем ответе уже все забили :)
Еще совет (на крайний случай) - обратиться в российскую дипмиссию и попросить выдать не загранник новый, а Свидетельство о возвращении на родину (как-то примерно так называется). Обычно такой документ выдают довольно быстро и без особых проблем - иногда просят прийти 2 российских граждан в посольство и подтвердить, что они, дескать, знают Марью Петровну Иванову, что это она и она гражданка России.
Единственный момент - она с этим документом сможет улететь в Россию, но дальше она там застрянет, пока не обновит свой загранпаспорт (а если у нее нет действующего российского паспорта (внутреннего), то сначала и его). Т. е. в общей сложности от месяца (если повезет) до 4-5 месяцев (если не повезет)