нужен ли загранпаспорт в безвизовую страну ребенку до 14 лет? Может ли ребенок пересечь границу по свидетельству?

Нет, без паспорта никак. Или вписываете его в свой заграничный паспорт или получаете паспорт на ребенка

Безвизовые страны разные бывают. В одни по загранпаспортам впускают, в другие по внутреннему. Типа в Турцию по внутреннему нельзя, а в Абхазию можно. Вот куда по внутреннему впускают, туда до 14 по свидетельству можно.

Если это одна из стран Содружества, куда взрослые могут въезжать по внутреннему паспорту РФ, то ребёнок может ехать по свидетельству о рождении.
Если это страна, требующая от взрослых заграничный паспорт, то и для ребёнка нужен паспорт, независимо от возраста.

Загранпаспорт нужен, это само собой разумеется!
Что означает странная бумажка без фотографии на непонятном пограничнику языке? Абонемент в баню?

Загранпаспорт нужен обязательно.

Нужен, если это не СНГ.

Нужен если он не вписан в ваш паспорт.

Нет. Загранпаспорт нужен.

Есть варианты
1) вы летите в одну из стран, в которые загранпаспорт россиянам не нужен (список погугли). Тогда и ребенку его не надо
2) вы летите в страну не из этого списка. Тогда тоже два варианта.
2.1) если у того родителя (и только родителя), с кем он летит, загранпаспорт старого образца, то можно вписать ребенка туда и лететь со свидетельством
2.2) если он летит не с родителями или у них загранпаспорт нового образца, то ему нужен свой

впишите ребенка в свой паспорт

Нужен. Вот здесь подробно расписаны все возможные варианты: http://xn-----6kccaat4ahrbn6agjfjbogsmni4h6f.xn--p1ai/kak-vpisat-rebenka-v-zagranpasport.html