Какие владения были утеряны Российской империей?

Самая известная (и самая крупная) территориальная потеря России — Аляска
===
Южное побережье Каспия (1723-1732)
======================================
Россия, истощённая войнами и реформами Петра, не могла удерживать столь дорого обходившееся приобретение и в 1732 году эти земли были возвращены Персии.

Восточная Пруссия (1758-1762)
===============================
По итогам Второй Мировой войны, часть Восточной Пруссии с Кёнигсбергом отошли к СССР — теперь это Калининград с одноименной областью. Но когда-то эти земли уже были в подданстве России.

Средиземноморье: Мальта (1798-1800) и Ионические острова (1800-1807)
===============================================================
В 1800 г. русско-турецкая эскадра под командованием знаменитого флотоводца Ушакова захватила сильно укреплённый французами остров Корфу. Была учреждена Республика Семи Островов, формально, в качестве турецкого протектората, но по факту, под русским управлением. По Тильзитскому миру (1807) император Александр I негласно уступил острова Наполеону.

Румыния (1807-1812, 1828-1834)
==============================
Первый раз Румыния, а точнее тогда ещё два отдельных княжества — Молдавия и Валахия — оказались под властью России в 1807 году, во время очередной русско-турецкой войны (1806-1812). Население княжеств было приведено к присяге на верность российскому императору, на всей территории — введено прямое российское правление. Но вторжение Наполеона в 1812 году вынудило Россию заключить скорейший мир с Турцией, вместо двух княжеств удовольствовавшись лишь восточной частью княжества Молдавия (Бессарабия, совр. Молдова).

Карс (1877-1918)
=====================
После революции Карскую область большевики отдали Турции.

Манчжурия (1896-1920)
======================
В результате поражения России в русско-японской войне, южная часть Маньчжурии попала в сферу влияния Японии. После революции русское влияние в Маньчжурии стало убывать. Наконец, в 1920 году китайские войска заняли русские объекты, включая Харбин и КВЖД, окончательно закрыв проект » Желтороссия».

Советский Порт-Артур (1945-1955)
===================================
После разгрома японской Квантунской армии в 1945 году Порт-Артур по договору с Китаем был передан Советскому Союзу сроком на 30 лет в качестве военно-морской базы. Позже СССР и КНР договорились о возвращении города в 1952 году. По просьбе китайской стороны, в связи со сложной международной обстановкой (Корейская война) советские вооружённые силы задержались в Порт-Артуре до 1955 года.

Аляска.