Математика был экзамен завалил эти номера с варианта

1. log₂ √(x-1) = 1

Представим корень в виде степени ½, затем вынесем его перед знаком логарифма.

log₂ (x-1) ^ ½ = 1
½ log₂ (x-1) = 1 | *2
log₂ (x-1) = 2

Теперь представим двойку справа в виде логарифма и далее избавимся от логарифмов вовсе.
Кроме этого, зная, что любая штука под знаком логарифма не может быть нулём или отрицательным числом, добавим ограничение на икс.

log₂ (x-1) = log₂ 2²
x-1 > 0

log₂ (x-1) = log₂ 4
x-1 > 0

x-1 = 4
x > 1

x = 5

2. log₅ (x + 8) ≤ 2

Опять те же манипуляции, двойку представляем в виде логарифма... подлогарифмическое выражение больше нуля... потом надо избавиться от логарифмов...

log₅ (x + 8) ≤ log₅ 5²
x + 8 > 0

log₅ (x + 8) ≤ log₅ 25
x > -8

x + 8 ≤ 25
x > -8

x ≤ 17
x > -8

-8 < x ≤ 17

3. А (3) (7) - А (2) (6)

Есть формула для числа размещений:
А (k) (n) = n! / (n-k)!

А (3) (7) - А (2) (6) = 7! / (7-3)! - 6! / (6-2)! = 7! / 4! - 6! / 4! = (7! - 6!) / 4!

Теперь можно воспользоваться вот этой формулой для факториалов:
n! - (n-1)! = n

(7! - 6!) / 4! = 7/4! = 7/24

1! = 1
2! = 1 * 2 = 2
3! = 1 * 2 * 3 = 6
4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24

4. A (3) (10) / C (3) (10)

Есть вот такая формула:
A (k) (n) / C (k) (n) = P (k)

Картинка:
https://ds02.infourok.ru/uploads/ex/0150/0007f08f-dc6efa19/img29.jpg

A (3) (10) / C (3) (10) = P₃

Формула для числа перестановок:
P (n) = n!

Картинка:
http://images.myshared.ru/17/1052232/slide_5.jpg

В данном примере:
P₃ = 3! = 6

5. 9^x - 24 * 3^x - 81 = 0

Представим 9^х в другом виде, заметим, что 9 - это 3 в квадрате:
9^x = (3^2)^х = (3^x)^2

Получилось, что первая штука в уравнении - это 3 в степени х и всё это в квадрате.

Теперь, осталось заметить, что в первом слагаемом "степенная штука" в квадрате, во втором - без квадрата, а в третьем вовсе её нет. Это очень похоже на квадратное уравнение ...

Нужно заменить 3^x на t, чтобы это лучше увидить и чтобы потом было проще считать:
(3^x)^2 - 24 * 3^x - 81 = 0
t ² - 24 t - 81 = 0

Надо искать корни квадратного уравнения, а потом делать обратную замену (чтобы вместо t снова появился х):
t ² - 24 t - 81 = 0
D = (-24)² - 4 * 1 * (-81) = 900 = 30²
t₁,₂ = 24 +- 30 / 2
t₁ = 27
t₂ = -3

Сделаем обратную замену и получим, что 3^x = 27 и 3^x = -3.
Вторую штуку можно выкинуть сразу, не найдётся таких иксов, чтобы получить -3 справа.

3^x = 27
3^x = 3³
х = 3

6. 0,04^x - 26*0,2^x + 25 = 0

Опять преобразуем первое слагаемое, заметив что 0,04 = 0,2²
(0,2^2)^x - 26*0,2^x + 25 = 0
(0,2^x)^2 - 26*0,2^x + 25 = 0

Опять заменим "степенную штуку" на t, чтобы дальше решать квадратное уравнение.

t ² - 26 t + 25 = 0
t ² - t - 25 t + 25 = 0
(t ² - t) - (25 t - 25) = 0
t (t -1) - 25 (t-1) = 0
(t - 25)(t -1) = 0
t₁ = 1
t₂ = 25

0,2^x = 1 и 0,2^x = 25

Для первого случая х = 0, а вот для второго....

0,2^x = 25
⅕ ^ x = 5 ²

⅕ - это 5 в степени -1
Хотя тут лучше наоборот, 5 - это ⅕ в степени -1

⅕ ^ x = 5²
⅕ ^ x = ⅕ ^(-1)^2
⅕ ^ x = ⅕ ^2 ^(-1)

2 в степени -1 - это ½

⅕ ^ x = ⅕ ^2 ^(-1)
⅕ ^ x = ⅕ ^ ½
х = ½

В данном примере нашлись два корня: х₁ = 0 и х₂ = ½

Здесь о производных нет и речи... Какие ещё задания с "буквами"?!
Остановите Землю, я сойду.

Это обыкновенные степенные, логарифмические уравнения и неравенства Чем мы можем помочь?