Подскажите, пожалуйста, пример функции, у которой существует первая производная, но не существует вторая.

Например:
f(x) = - x^2 (x < 0)
f(x) = x^2 (x>0)
Производная:
f'(x) = - 2 x (x < 0)
f'(x) = 2 x (x > 0)
существует везде, в т. ч. и в точке x = 0.
Вторая производная:
f''(x) = - 2 (x < 0)
f''(x) = 2 (x > 0)
В точке x = 0 вторые производные слева и справа не одинаковы, значит в этой вторая производная не существует.

y=e в степени х

Функция без второй производной
Что за функция такая, у которой есть первая производная, но нет второй?
Еще пример
Г-н/г-жа Stolen666, ниже на форуме уже был Ваш вопрос о непрерывной нигде не дифференцируемой функции. Пример таковой функции был приведен в ответе Вашего покорного слуги.
Если y=f(x) такая функция, которая не имеет нигде производной, сама всюду непрерывна, то положим F(x)=∫0xf(x){ }dx. Тогда F(x) всюду дифференцируема (производная равна f(x) на [0,1] и нигде на этом отрезке не имеет второй производной.
Если речь идет о том, что второй производной нет в одной точке, то рассмотрим функцию:
y=x^(4\3) . Здесь дробную степень понимаем как извлечение кубического корня из четвертой степени, эта функция определена и дифференцируема на всей числовой оси. Но в точке х=0 она не имеет второй производной.

Если существует 1-я, существует и 2-я (n...-я). Возможно, не сама функция а её конкретное значение в области определения.