Задача по физике

Если ОУ направлена вверх, то вектор g имеет координаты (0; -g), a вектор силы F(0;-2*(a*y-1)*m*g) или F(0; 2*(1-a*y)*m*g).
Элементарная работа этой силы на пути dy равна
dA=F*dy=2*m*g*(1-a*y)*dy.
Зависимость A(y)=2*m*g*(y-a*y²/2)+C
Полная работа будет равна определенному интегралу от 0 до некоторой высоты h, в которой скорость равна нулю. После интегрирования получим:
A=2*m*g*(h-a*h²/2)
Ускорение тела в зависимости от координаты:
a(y)=F/m=2*g*(1-a*y)=dv/dt.
С другой стороны, v=dy/dt => dt=dy/v
Поэтому a=dv/dt=v*dv/dy=2*g*(1-a*y), отсюда v²/2=2*g*(y-a*y²/2)
v(y)=2*√(g*y*(1-a*y/2)).
При этом, очевидно, v(0)=0 и v(h)=0, т. е. 1-a*h/2=0 => h=2/a
Подставим выражение для h в формулу для работы:
A=2*m*g*(2/a - (a*4/a²)/2)=0.
Это вполне ожидаемый ответ. Его, кстати, можно было получить, не проводя никаких сложных вычислений. Поскольку сила зависит только от координат, значит она консервативная (потенциальная), и полная механическая энергия здесь будет сохраняться: Е1=m*v1²/2+П (y1)=E2=m*v2²/2+П (y2).
При этом, для потенциальных сил A=П (y1)-П (у2)=m*v2²/2-m*v1²/2.
Но, по условию, v1=v(0)=v2=v(h)=0, поэтому и A=0.

Как я понимаю, ось Y направлена вверх. Ускорение свободного падения направлено вниз. Тогда, если спроецировать эту силу на ось y:
F(Y) = 2 (1 - a Y) m g
Работа этой силы при смещении вдоль оси Y на величину dY:
dA = F(Y) dY
Если вы хотите вычислть работу, совершенную силой при подъеме тела до высоты Y, то вам надо просуммировать все такие dA. То есть проинтегрировать по Y от 0 до Y.