Система диффурчиков и поиск максимума.

Численные расчеты показывают, что максимум равен 1.213

Данная система уравнений представляет собой модель двух взаимодействующих видов, где X - размер популяции первого вида, а Y - размер популяции второго вида.

Для нахождения максимального значения X(t) нужно решить данную систему дифференциальных уравнений и проанализировать поведение переменной X во времени.

Решение системы уравнений:

dX/dt = X(Y - X)

dY/dt = -XY

Перепишем первое уравнение, разделив обе части на X(Y - X):

dX/X = (Y - X) dt

Интегрируя обе части от 0 до t, получаем:

ln|X(t)/X(0)| = ∫(0 to t) (Y - X) dt

ln|X(t)| = ln|X(0)| + ∫(0 to t) (Y - X) dt

ln|X(t)| = 0 + [Yt - X(t)t - Y(0)0 + X(0)0]/2

ln|X(t)| = Yt - X(t)t - ln|X(0)|

X(t) = exp(Yt - X(t)t - ln|X(0)|)

Аналогично, можно решить второе уравнение, разделив обе части на -XY:

dY/Y = -X dt

Интегрируя обе части от 0 до t, получаем:

ln|Y(t)/Y(0)| = -∫(0 to t) X dt

ln|Y(t)| = ln|Y(0)| - ∫(0 to t) X dt

ln|Y(t)| = ln|Y(0)| - ∫(0 to t) exp(Yt - X(t)t - ln|X(0)|) dt

Поскольку решить этот интеграл в общем виде не удастся, то далее нужно использовать численные методы решения уравнений.

Например, можно воспользоваться методом Эйлера для численного решения системы дифференциальных уравнений. Для этого необходимо задать шаг по времени и начальные значения X и Y:

X(0) = 1
Y(0) = 2
h = 0.001

Затем на каждом шаге по времени t_n = n * h (где n - номер шага) вычисляются значения X_n и Y_n на основе предыдущих значений и значения производных в точке t_n:

X_n+1 = X_n + h * X_n(Y_n - X_n)
Y_n+1 = Y_n - h * X_n * Y_n

Продолжая вычисления на каждом следующем шаге, можно получить значения X и Y для заданного промежутка времени.

Затем находим максимальное значение X на этом промежутке и получаем ответ:

max(X(t)) = X_max