Функциональный анализ. Помогите пожалуйста решить задачу.

Для начала, заметим, что R[t]3 - это пространство многочленов степени не выше 3 над полем вещественных чисел.

Для того чтобы найти норму оператора D, необходимо найти наименьшее возможное число M, такое что ||D(x)|| <= M ||x|| для всех x из R[t]3, где ||x|| - это норма вектора x.

Вычислим сначала норму оператора D. Для этого рассмотрим вектор x = (1, t, t^2, t^3), т.е. x - это многочлен t^3 + t^2 + t + 1. Тогда:

D(x) = 2x''' + 2x'' + 2x' + x = 2(6t) + 2(2t) + 2(1) + t = 14t + 2

Таким образом, ||D(x)|| = ||14t + 2||, а норма вектора x равна ||x|| = ||t^3 + t^2 + t + 1||.

Норму вектора ||14t + 2|| можно найти следующим образом:

||14t + 2||^2 = (14t + 2, 14t + 2) = 196(t, t) + 56(t, 1) + 4(1, 1) = 196||t||^2 + 56|t| + 4

где ( , ) - это скалярное произведение.

Аналогично, норму вектора ||t^3 + t^2 + t + 1|| можно найти следующим образом:

||t^3 + t^2 + t + 1||^2 = (t^3 + t^2 + t + 1, t^3 + t^2 + t + 1) = ||t||^6 + ||t||^4 + ||t||^2 + 1

Таким образом, норма оператора D равна:

||D|| = sup{ ||D(x)|| / ||x|| : x != 0 } = sup{ ||14t + 2|| / ||t^3 + t^2 + t + 1|| : t из R }

Норму можно оценить сверху:

||D|| <= sup{ (196||t||^2 + 56|t| + 4)^(1/2) / (||t||^6 + ||t||^4 + ||t||^2 + 1)^(1/2) : t из R }