Где лучше остановиться летом на 8 - 10 дней в Абхазии?

в Гагре, однозначно. Пансионат не посоветую, там не такой уж хороший сервис, что бы жить в пансионате, лучше снять жилье на месте.
Если так важен песчаный пляж, то это в Пицунде, но там нечего делать, в Гагре больше мест, где можно погулять - в старой части города. Если остановиться в Гагре, то в Пицунду можно съездить - сядите на городской автобус, пол часа ехать.
Если все таки выбирать пансионат, то выбирайте в старой части города, если хотите погулять и посмотреть что-то, а если типа кафе-рестораны то в новой, но не ожидайте много от абхазского сервиса))

В Гагре много частных отелей посмотрите по интернету, они однозначно дешевле пансионата ( район Новых Гагр -Мега, Сан-Ремо").

Цандрыпш - там спокойно и уютно (галька)
А песчаные Пицунда и близ лежащие деревушки

Недорого и Абхазия - не совместимые вещи.
Если вы готовы жить без сервиса, питаться кое-как при этом выплатить огромные деньги. (примеру как в Сочи или Турции, Египте) то в перед.
Питание очень дорогое, за жилье просят много с учетом того что сервиса никакого вообще нет.
Есть пара гостиниц, сервис кое какой и питание, но цена от 1900р в сутки Гагра, и в Пицунде от 2500.
Подумайте получше оно вам нужно вообще?
Зачем ехать куда то, когда в нашей стране лучше отдыхать и дешевле?