Какие сложности возникают при рождении и регистрации ребёнка если брак родителей не зарегистрирован?

В принципе ни каких проблем. Я вообще сначала дочь записала на себя (как мать одиночка (так было необходимо)) , хотя ее отец вместе со мной ездил в ЗАГС и оформляли свидетельство о рождении. А через пять лет решили его (отца моей дочери) вписать в документы как отца. Заплатили госпошлину и переписали свидетельство о рождении, + дали бумагу об установлении отцовства, но дочь все равно под своей фамилией оставила.

никаких. просто отец должен написать в загсе заявление, что признает ребенка своим. остальное всё тоже самое, как и когда родители расписаны. а при регистрации ребенка не нужно присутствие обоих родителей, достаточно одного. а вот при прописке ребенка в квартиу отца, нужно присутствие матери и ее заявление о согласии. это и в случае, когда родители расписаны, и в случае, когда не расписаны

никаких непреодолимых...

Никаких.. . насколько я помню.

Сложность может быть в том, что отец ребенка просто не захочет идти в ЗАГС и признавать отцовство, тогда вот и набегаетесь по судам, признавая его отцом, а в браке это делается автоматически.
Еще если отец ребенка (не дай бог) погибнет, то признать его отцом опять таки шансов еще меньше чем если он жив. Без разрешения и одобрения родни ничего не сделать, следовательно ребенок не будет получать пособие по утере кормильца.
А если госпошлина 200р за признание отцовства и 200р за регистрацию брака- не проще ли брак зарегистрировать и тем самым обезопасить себя.

Никаких, отцу придется лишнюю бумажку написать, что он признает свое отцовство

Если брак родителей не зарегистрирован, при оформлении свидетельства о рождении необходимо физическое присутствие и отца, и матери новорожденного. Сведения об отце ребенка в данном случае вносятся на основании записи акта об установлении отцовства.

Если отцовство не установлено, сведения об отце ребенка записываются в свидетельство о рождении со слов матери или, по ее желанию, не указываются вовсе. В этом случае новорожденный получает фамилию матери, отчество записывается с ее слов.