Как дома можно вырастить траву для кошек и как лучше это сделать?

В садовом магазине купить на развес семена овса - купить граммов 200 - 300, этого надолго хватит и будет это гораздо дешевле чем щепотка черте-каких сорняков, которые не факт что кошки будут есть.
В зоо-товарах продают наполнитель для грызунов - древесную стружку (ну или гранулированные опилки - наполнитель для кошек - их нужно размочить); или если где-то в районе есть лесопилка - стружку можно бесплатно попросить там.
Нужно будет где-то найти емкость для посева (чтоб без дырок) - поддон из-под полуфабрикатов подойдет идеально.

А дальше остается только положить в емкость стружку, налить воду и насыпать семян. Сверху можно закрыть пленкой. В теплом и светлом (это важно!) месте - очень быстро взойдет.

Мои ее только из земли вытаскивают и бросают

Мои не едят - покупала два разных набора.
На даче с удовольствием грызут сорняк - обычную осоку.
Как-то осенью выкопала с землёй, но пучок довольно быстро захирел, хотя был с большим комом земли.

Дома в свободной доступе зелёный хлорофитум, по праздникам - циперус.

То, что продают для кошек - не всегда им нравится.
На коробках обычно есть инструкция - как именно сеять.

Для начала купи набор для проращивания.
Потом в любом зоо купи опилки, копейки стоят, или набери на авито бесплатно, и пшеницу, овес и подобное, и сам проращивай.

Я привожу кусок газона с огорода, держу на лоджии, при очень сильных морозах включаю обогреватель (у меня там многие растения зимуют). Все другие варианты кошка игнорирует.

Посейте все, понемногу. Потом определитесь с пристрастиями и уже будете выращивать то, что больше подходит.

в магазине сад-огород есть семена, так и называются-трава для кошек.