Были ли в 14 веке сиротские приюты? Или заведения наподобие этих?

Усыновление, взятие под опеку и воспитание в государственных учреждениях существовало в России с XI века. Причем учреждения, создаваемые для сирот, сразу носили воспитательный и образовательный характер.
Первым таким заведением было училище для сирот, учрежденное в 1072 году Ярославом Мудрым. В этом училище проживало и обучалось 300 юношей.
При Иване Грозном начали открываться сиротские дома, которыми ведал церковный патриарший приказ.

В Европе так же существовали воспитательные дома и сиротские приюты, в основном при церквях и монастырях.
См. ссылки:
http://www.journaldetskidom.ru/magazine/?act=more&id=458
http://www.cult-turist.ru/place-interes/one-place/412/?q=497&plint=412