Дана сфера радиуса 1. На ней расположены равные окружности γ0, γ1, ..γn радиуса r (n ≥ 3). Окружность γ0 касается всех окружностей γ1, ..γn; кроме того, касаются друг друга окружности γ1 и γ2, γ2 и γ3, ..γn и γ1. При каких n это возможно? Вычислите соответствующий радиус r.
я получил следующий ответ: при n = 3
Понятно, что на трёхмерной сфере таких окружностей будет либо три, либо четыре. В первом случае их центры будут лежать в вершинах правильного треугольника, во втором - в вершинах правильного тетраэдра.
Угол между вершинами правильного треугольника (если смотреть из его центра) α = 120°
Угол между вершинами правильного теnраэдра β = arccos(–1/3) = 109.4712°
Значит радиусы этих окружностей равны, соответственно:
r1 = R sin(α/2) = 0.866 R
r2 = R sin(β/2) = 0.816 R
Для первого случая получился максимальный радиус (случай, когда все окружности перпендикулярны одной плоскости)
⇢