Помогите, пожалуйста. Почему "выспится" пишет через "и"? Спряжение же первое: Что делать? Высыпаться.

Всё не так просто. Определение спряжения — это достаточно сложная и иногда долгая процедура.

1. Во-первых, нужно посмотреть, не являются ли личные окончания ударными.
Лежать — лежит, кричать — кричит, греметь — гремит, звенеть — звенит.
Окончания ударные, следовательно, спряжение нужно определять именно по окончанию 3-го лица, а не по инфинитиву. Лежать, кричать, греметь, звенеть — это второе спряжение.

2. Во-вторых, если окончания безударные, нужно проверить, не образован ли глагол от такого глагола, у которого окончания ударные.
У Вас как раз такой случай попался.
Глагол "выспится" имеет начальную форму "выспаться" (но не "высыпаться", как Вы написали) .
А глагол "выспаться" образован от глагола "спать", у которого личные окончания ударные: спишь, спит.. .
По правилу все приставочные глаголы следуют спряжению бесприставочных.
Значит, глагол "выспаться" того же спряжения, что и глагол "спать".
Спишь, спит — гласная И — значит, 2-е спряжение. Следовательно, у "выспаться" тоже 2-е спряжение.

3. Далее, если не подошёл ни 1-й, ни 2-й пункт, нужно посмотреть, не содержится ли исследуемый глагол в списке исключений: гнать, держать, смотреть, видеть, дышать, слышать, ненавидеть, обидеть, терпеть, зависеть, вертеть — или другой список: брить, стелить, зиждиться и глаголы на -шибить (пришибить, ошибиться) . В первом списке все глаголы относятся ко 2-му спряжению, во 2-м списке — к 1-му. Опять же следует помнить правило: приставочные глаголы следуют спряжению бесприставочных. Например, подышать — 2-е спряжение.

4. И только если не подходит ни 1-й, ни 2-й, ни 3-й пункт, вот тогда нужно смотреть инфинитив.
К 2-му спряжению относятся глаголы, оканчивающиеся на -ить, к 1-му — все остальные (на -ать, -оть, -уть, -ыть, -ть с предшествующей согласной и на -чь) .
Верить, носить, чистить — 2-е.
Делать, писать, молоть, прыгнуть, лезть — 1-е.

Скажите, пожалуйста, почему " выспИшься" , но при этом "высыпаЕшься" ( и та, и другая приставочные формы образованы от глагола "спать", но, получается, у них разные спряжения?)
Спать - спИт, высыпаться - высыпаЕтся, но выспИтся. Спряжение зависит от вида? В чем логика?

он что делает? спит.