Могу я кота называть собакой на сене, если он сам мышей не ловит и мне не даёт?

Обзывайте как хотите! Иш удумал! Не давать!

а вы пардом тоже их ловите расскажите подробнее какими спо собами

Называй его казёл.

Нет, потому что собака на сене хоть и не станет ловить мышей, но зато охотно возьмется за вас.