С момента покупки у нового владельца есть 10 законных дней для постановки авто на учет. В этот срок надо оформить страховку ОСАГО (и если надо, пройти техосмотр, т. к. сейчас страховку ОСАГО без действующего еще хотя бы один день талона ТО (или диагностической карты) не оформляют) . Ездить в это время можно по ДКП и ПТС.
Что там с номерами - хозяин снял авто с учета или просто снял номера?
Продать-купить авто можно и не снимая с учета. Оформляете договор купли-продажи. Если авто еще стоит на учете, то пусть владелец вешает номера, расписывается в ПТС как прежний владелец и вы обмениваетесь - Вы ему деньги, он Вам ПТС, СТС и авто. Далее оформляете страховку (если надо, проходите ТО) , едете ставить авто на учет - с прежнего учета снимут автоматически.
Если авто с учета снят, то то же самое, но авто сразу ставят на учет на Ваше имя.