Можно ли организовать футбольный турнир для 9 команд так, чтобы каждая команда провела по 3 встречи?

Нельзя.
Доказать это легко. Если 9 команд проведут по три встречи, то всего этих матчей будет (трижды девять) 27. Но ведь когда команда А играет с командой В, то и команда В играет с командой А, поэтому 27 надо поделить пополам, а оно нечётное и на 2 без остатка не делится. Что это значит? Это значит, что когда 8 команд проведут по три встречи, девятая сможет провести только две, для третьей у неё не будет соперника.