скажите, буравчик был изобретен с использованием тригонометрических знаний, известных на тот момент?

тригонометрия как наука зародилась ещё в древней Греции, а векторы - из потребностей элементарной физики и дифференциального исчисления.
Но если в физике векторы представляют силы, скорости, ускорения, имеющие не абстрактный, а реальный смысл и видны невооружённым глазом, то в дифференциальной геометрии для абстрактных математических произведений векторов приходится выбрать условное правило буравчика и таким образом упорядочить условные оси текущих координат.
Заметьте, что вектор сам по себе придуман, чтобы обозначать физическую или теоретическую величину не привязываясь ни к какой системе отсчета.
Вектор одинаков, к какой точке его не приложи.

Но при взаимодействии векторов, при абстрактных операциях, важно получить однозначный результат для этого и придуман буравчик.
Он с тригонометрией в принципе не связан.

И в тригонометрии мы также условно считаем положительным угол нарастающий против часовой стрелки. Это общепринятая математическая условность.

В корабельном деле наоборот - ось X в сторону носа корабля, Y - на правый борт, Z - вверх.