ДПФ и свертка дискретной последовательности

Потому что дискретное преобразование применяется к периодическим функциям или функциям, заданным на ограниченном промежутке. А в этом случае интегральное преобразование вырождается в ряд. Собственно формула ДПФ и выводится из ряда Фурье.

Можно на это взглянуть и по-другому. Напишите формулу для коэффициентов Фурье при разложении периодической функции в ряд (по экспонентам) - получите интеграл от исходной функции. А теперь вспомним, что в дискретном случае наша исходная функция представляется рядом вида f(X) = Σf(Xn)*δ(X-Xn), где δ(X) - обобщенная δ-функция. Интегрируя функцию такого вида как раз и получим формулу дискретного преобразования Фурье. Т. е. "дельта X" у нас ушло при интегрировании δ-функции

P.S. Здесь я вместо t использовал X, чтобы индекс n был нагляднее