3sin2x = 4(sinx + cosx +1)
Перепробовала все... двойной угол ни к чему не приводит, как однородное первой степени не решить, вспомогательный аргумент не помогает.. . Не знаю... может в примере ошибка? !
Заранее спасибо.
1) sinx + cosx=koren(2)*sin(x+PI/4).
t=x+PI/4, x=t-PI/4, 2x=2t-PI/2, sin2x= -cos2t=2sin^2 t-1.
2) 6sin^2t-3=4*koren(2)*sin t+4,
Квадратное уравнение для синуса. Правда, числа "некрасивые".
Пусть sin(x)+cos(x)=y. Тогда y^2=sin^2(x)+2*sin(x)*cos(x)+cos^2(x)=1+sin(2*x).
Отсюда sin(2*x)=y^2-1 и получается простое квадратное уравнение:
3*(y^2-1)=4*(y+1), или 3*y^2-4*y-7=0. Его решения у (1)=7/3, у (2)=-1.
sin(x)+cos(x)=sin(x)+sin((Пи/2-x)=2*sin(Пи/4)*cos(x-Пи/4)=√(2)*cos(x-Пи/4). Так как -1 <= cos(x-Пи/4) <= 1, то -√(2) <= (sin(x)+cos(x)) <= √(2), и корень у=7/3 не входит в ОДЗ. Осталось решить уравнение: sin(x)+cos(x)=-1, что эквивалентно уравнению √(2)*cos(x-Пи/4)=-1. cos(x-Пи/4)=-1/√(2).
Получаем две серии решений:
первая: x-Пи/4=(3/4)*Пи+2*Пи*k, или х=Пи+2*Пи*k,
вторая: x-Пи/4=-(3/4)*Пи+2*Пи*k, или х=-Пи/2+2*Пи*k,
В обеих сериях k - любое целое число.
⇢