Что такое функция в математике и производная? Как они обозначаются?

Функция - это отображение числового множества в числовое. Обозначается как душе угодно.
Производная - линейная часть приращения функции в данной точке.
Если приращение ∆y функции в данной точке можно выразить в виде ∆y = k*∆x + о (∆x), где o(∆x) - бесконечно малая, то k называется производной функции в данной точке. Обозначают обычно значком, обозначающим саму функцию, и апострофом.