Каковы различия между смелостью, храбростью, отвагой и мужеством?

Мужество - это проявление качеств, присущих мужчинам. Это может быть стойкость, принципиальность, смелость, отвага и т. д.

Смелость - способность к рискованным действиям. Близкие синонимы: удаль, бесстрашие, отчаянность.

Храбрость - проявление смелости, направленное, например, на оказание помощи кому-либо.

Отвага - храбрость в бою или экстремальной ситуации, способность к самопожертвованию, героизм.

Понятия близкие, но разница есть.
Под отвагой обычно подразумевают смелость в сражениях (медель "За отвагу").
О мужестве говорят когда стойко преодолевают какие-то жизненные невзгоды.
Смелость как отсутствие трусливости.
Храбрость - качество сродни смелости только проявляемое сильнее.