Начертим "вид сбоку". Обозначим положение глаза наблюдателя точкой А. На стене, на уровне глаз наблюдателя отметим точку В. Нижний край картины обозначим точкой С, верхний край - точкой D. Тогда ВС=1,2 м, ВD=2,7 м. Обозначим расстояние АВ=х. Тогда искомый угол - угол DАС. Он равен разности углов DАВ и САВ. tg(DАВ) =2,7/x, tg(CAB)=1,2/x.
tg(DАC)=(tg(DАВ) -tg(CAB))/(1+tg(DАВ) *tg(CAB))=(2,7/x-1,2/x)/(1+(2,7/x)*(1,2/x))=
=(1,5/x)/(1+3,24/x^2)=1,5*x/(x^2+3,24).
Чтобы искомый угол был максимальным, нужно чтобы tg(DАC)=1,5*x/(x^2+3,24) был максимальным. Таким образом, задача сводится к нахождению значения "х", при котором функция 1,5*x/(x^2+3,24) имеет максимум.
Для этого найдем производную и приравняем ее 0.
(1,5*x/(x^2+3,24))'=1,5*(1*(x^2+3,24)-x*(2*x))/(x^2+3,24)^2=
=1,5*(3,24-x^2)/(x^2+3,24)^2. Значит 1,5*(3,24-x^2)/(x^2+3,24)^2=0, отсюда (3,24-x^2)=0, Получаем х (1)=1,8; х (2)=-1,8. Естественно берем положительное значение.
Итак, х=1,8 м.
В Excel такого рода задачи я решаю так:
В ячейке В1 пишу текст "Х", в ячейке С1 пишу текст "Y".
В ячейке А2 пишу текст "Начальное значение", в ячейке В2 записываю это начальное значение (в данном случае 0).
В ячейке А3 пишу текст "инкремент" (т. е на сколько увеличиваю исходное значение при переходе в следующую строку) , в ячейке В3 записываю это значение инкремента (в данном случае 0,1).
В ячейке В4 пишу формулу (кавычки не нужны, я их пишу только для наглядности) "=В2".
В ячейке В5 пишу формулу "=В4+$В$3". (значок доллара означает, что при копировании формул адрес ячейки В2 не изменяется) .
В ячейке С4 пишу искомую формулу "=1,5*В4/(В4*В4+3,24).
Копирую ячейку С4 в ячейку С5.
Далее копирую ячейки В5 и С5 в следующие несколько строк (здесь достаточно 20 строк)
Получается такая табличка:
Х Y
0
0,1
00
0,10,046153846
0,20,091463415
0,30,135135135
0,40,176470588
0,50,214899713
0,60,25
0,70,28150134
0,80,309278351
0,90,333333333
10,353773585
1,10,370786517
1,20,384615385
1,30,395537525
1,40,403846154
1,50,409836066
1,60,413793103
1,70,415986949
1,80,416666667
1,90,416058394
20,414364641
2,10,411764706
2,20,408415842
2,30,404454865
2,40,4
2,50,395152792
Видно, что при х=1,8 Y принимает максимальное значение.
Теперь уточняю с точностью до 0,01.
Для этого изменяю значения в ячейке В2 1,7; в ячейке В3 0,01.
Вижу, что при значении х=1,80 Y принимает максимальное значение.
При необходимости повторяю процедуру уточнения до тех пор, пока не получу значение Х с заданной точностью. (В данном случае уточнения не нужны, но ведь так можно решать и другие задачи).