Нужны ли права чтобы водить мопед и надо ли этот мопед регистрировать?

Если договор был заключен, то собственником Вы не являетесь. Однако Вы являетесь лицом, за которым транспортное средство зарегистрировано в ГИБДД. Вы можете обратиться в регистрационное подразделение и прекратить регистрацию транспортного средства.