по новому какая часть речи. помогите с русским

Если Вы правильно написали ПО раздельно, то НОВОМУ – это прилагательное НОВЫЙ в дательном падеже единственного числа и предлог к нему никакого отношения не имеет, так как предлоги употребляются только с существительными, местоимениями-существительными, числительными и никогда – с прилагательными, хотя прилагательные и располагаются между предлогом и существительным, с которым он употреблён: по новому парку, по новому шоссе, по новому зданию.

Слово НОВОМУ – прилагательное, так как:
► поясняет имя существительное (парк, шоссе, здание);
► отвечает на вопрос КАКОМУ? (начальная форма, НОВЫЙ, на вопрос КАКОЙ?) и обозначает признак предмета;
► является качественным и форму НОВОМУ имеет в дательном падеже единственного числа мужского или среднего рода:
– И. есть новый парк, новое шоссе, новое здание
– Д. шёл по НОВОМУ парку, по НОВОМУ шоссе, по НОВОМУ зданию
► в предложении является определением.

Но есть наречие ПО-НОВОМУ. ПО- в нём – приставка, а -ОМУ – суффикс. Наречия с приставкой ПО- и суффиксом -ОМУ (-ЕМУ) пишутся через дефис:
► быть по-вашему;
► думать по-старому;
► жить по-новому.

ПО-НОВОМУ – НАРЕЧИЕ, так как:
► на вопрос КАК, В КАКОЙ СТЕПЕНИ? отвечает;
► относится глаголу (быть, думать, жить) и обозначает признак действия (как, каким образом быть, думать, жить? – по-вашему, по-старому, по-новому);
► не изменяется;
► в предложении является обстоятельством образа действия.
.