Признаки подобия треугольника!!!
Как доказать, что в подобных треугольниках отношение двух сходственных сторон равно отношению двух сходственных биссектрис.???
Как доказать, что в подобных треугольниках отношение двух сходственных сторон равно отношению двух сходственных биссектрис.???
Биссектриса "разрезает" треугольник на два. Условно назвав их "левый" и "правый", легко видеть что в подобных треугольниках "сходственные" биссектрисы порождают две пары подобных треугольников. "Левый" из разрезанных подобен "левому", а "правый" - "правому". В самом деле, например, у "левых" треугольников есть по равному углу, оставшемуся от исходного, и равны углы, одной из сторон которых являются биссектрисы. То есть подобие по признаку равенства двух углов.
Кроме того, у "левых" треугольников одной из сторон является сторона исходного треугольника, а другой - биссектриса. Что автоматически означает их пропорциональность, то есть биссектрисы относятся так же как боковые стороны (и не важно, какая пара "сходственных" сторон - вполне достаточно показать для любой, раз они все пропорциональны с коэффициентом подобия) .
Это все.
Пусть треуг АВС подобен А1В1С1; пусть La and La1 - биссектрисы, исходящих из углов А и А1 соответственно. Тогда, например, треуг АВLa подобен треуг. А1В1La1 (по двум углам А/2=А1/2 и В=В1). Значит, АВ/А1В1=La/La1. Но АВ/А1В1=ВС/В1С1=АС/А1С1=La/La1
ч и т. д.