третий признак подобия треугольников. .

Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство
Пусть у треугольников ABC и Пусть Переведем треугольник гомотетией f с любым центром и коэффициентом k в треугольник (см. рис. 12.7.1).

1
Рисунок 12.7.1.
Первый признак подобия треугольников
Треугольники ABC и A2B2C2 равны и, следовательно, подобны. Действительно, при гомотетии углы сохраняются, значит, Кроме того A2B2 = kA1B1 = AB. По второму признаку равенства треугольники ABC и A2B2C2 равны (теорема 4.2). По теореме 12.6 существует движение g, переводящее в Выполнив сначала гомотетию f, а затем движение g, мы осуществим подобие g ○ f, которое переводит треугольник в треугольник ABC. Следовательно, Теорема доказана.

Теорема 12.21.
Второй признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Доказательство
Пусть у треугольников ABC и и Докажем, что Переведем треугольник A1B1C1 гомотетией f с любым центром и коэффициентом k в треугольник A2B2C2. ΔA2B2C2 = ΔABC. Действительно, Треугольники и ABC равны по первому признаку равенства треугольников (теорема 4.1). По теореме 12.6 существует движение g, переводящее ΔA2B2C2 в ΔABC. Выполнив сначала гомотетию f, а затем движение g, получим подобие g ○ f, которое переводит ΔA1B1C1 в ΔABC. Следовательно, Теорема доказана.

Теорема 12.22.
Третий признак подобия треугольников. Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство
Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 AB = kA1B1, BC = kB1C1, AC = kA1C1. Переведем треугольник A1B1C1 гомотетией f с произвольным центром O и коэффициентом k в треугольник A2B2C2. При этом

A2B2 = kA1B1 = AB, A2C2 = kA1C1 = AC, B2C2 = kB1C1 = BC. По третьему признаку треугольники ABC и ΔA2B2C2 – равны (теорема 4.7). Если g – движение, переводящее ΔA2B2C2 в ΔABC, то преобразование g ○ f – подобие, переводящее ΔA1B1C1 в ΔABC. Следовательно, Теорема доказана.

Для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.