как найти интеграл от tg^6(x)

Делаем замену: tg(x)=y. Тогда int [ tg^6(x) dx ] = int [y^6 d(arctg(y)) ] = int [ y^6 / (1+y^2) dy ]
Упростим дробь:
y^6/(1+y^2)=
(y^6+y^4)/(1+y^2)-y^4/(1+y^2)=
y^4 - (y^4+y^2)/(1+y^2)+y^2/(1+y^2)=
y^4-y^2+1-1/(1+y^2).
int [ y^6 / (1+y^2) ] =
int [ y^4-y^2+1-1/(1+y^2) dy ] =
y^5/5-y^3/3+y-arctg(y)
Подставь тангенсы и упрости arc-tg сам, лень уже.