В прямоугольном треугольнике АВС биссектриса прямого угла В пересекает гипотенузу АС в точке М. Найти расстояние от точки М до катета ВС, если длина катета АВ равна 5 см, а длина катета ВС равна 8 см.
Опустим перпендикуляр из точки М на сторону ВС, пусть это отрезок МД
(точка Д на стороне ВС) . Длина этого отрезка и есть расстояние от точки М до
катета ВС) . Найдем эту длину.
Треугольник ВДМ - прямоугольный, угол ДВМ = 45 гр (так как ВМ -биссектриса) .
Значит и угол ВМД = 45 гр (180 - 90 - 45 = 45), то есть треугольник ВМД - равнобедренный, ВД = ДМ.
Треугольники АВС и МДС - подобные (прямоугольные с общим острым углом ВСМ) ,
то есть
ДС : ДМ = ВС : АВ, но
ДС = ВС - ВД = ВС - ДМ, поэтому получаем
(ВС - ДМ) : ДМ = ВС : АВ
Так как ВС = 8, АВ = 5, то
(8 - ДМ) : ДМ = 8 : 5 или
40 - 5ДМ = 8ДМ, получаем
Дм = 40/13
⇢