Векторная алгебра! Задача.

1. Находим координаты векторов ВС, ВА. Напомню, если начальная и конечная точки вектора имеют координаты B(b1, b2, b3) и А (а1, а2, а3), то координаты вектора ВА равны (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)
2. Синус угла между векторами ВА и ВС (назовем его угол α) можно найти двумя способами:
а) используя скалярное произведение векторов ВА и ВС найти косинус этого угла по формуле:
(ВА, ВС) = |BA|*|BC|*cos(α)
Затем воспользоваться основным тригонометрическим тождеством: sin(α) = √(cos²(α)
b) Найти векторное произведение векторов BA и BC с помощью матрицы векторного произведения. Затем вычислить его модуль и разделить на произведение модулей векторов ВА и ВС. Потому, что : |[BA,BC]| = |BA|*|BC|*sin(α)
Что Вам удобнее Вы сами определитесь.
2.Площадь треугольника равна:
S = (1/2)* |[BA,BC]| = |BA|*|BC|*sin(α)/2
Синус Вы уже нашли в п. 1 (а возможно и модуль векторного произведения) . Подставляете - находите площадь.
3. Можно, конечно, найти длину высоты как расстояние от точки А до прямой, проходящей через вектор ВС. Но проще по-другому. Положим что высота AD. Тогда площадь треугольника АВС равна: S = |АD|*|BC|/2
Т. е. |AD| = 2S/|BC|
Площадь треугольника Вы нашли в п. 2. Там же нашли длину вектора ВС. Подставляете - находите длину высоты.
Успехов!