⇢ УК
Ульяна Казакова
СА
Сергей Андреев
Без разницы.
Но если не begin, а beginning, то надо писать beginning to train и только так.
Илья Рылов
С глаголами типа: to begin, to start, to go on, to continue, to stop ( означающими начало, продолжение, завершение) , а также to intend (намереваться) - оба варианта подходят. Конечно, это ещё не все глаголы. Просто сразу не вспомнить.
Важно: оба варианта переводятся на русский язык совершенно одинаково, инфинитивом.
Егор Трушкин
Оба
Михаил
Begin to train - начни (начинай) тренироваться (подразумеваются тренировки вообще, как регулярный процесс) .
Begin (the) training - начни (начинай) тренировку (подразумевается некая конкретная тренировка. Хотя и здесь можно training понимать как процесс регулярный и длительный) .
Оба варианта правильны, но в первом - глагол в инфинитиве, а во втором - герундий. Эти две глагольные формы требуют разного управления.