keep on diet or keep to a diet

keep to a diet

TO KEEP A DIET
Устойчивое выражение. Глагол to keep - переходный, он требует дополнения без предлога. В вашем случае to keep a diet - придерживаться диеты, соблюдать диету, сидеть на диете. В русском языке несколько вариантов, в английском - только один " to keep a diet"

держать (вн. ) на диете — keep (d) on a diet / ration

посадить (вн. ) на диету разг. — prescribe a diet (for)

посадить (вн. ) на строгую диету — put (d) on a rigorous diet

соблюдать диету, сидеть на диете — keep / stick to a diet; diet

сесть на диету — go on a diet

голодная диета — starvation diet