Я хочу прописаться ко второй жене. Надо ли мне выписываться из кооперативной квартиры или это будет сделано автоматически

Сейчас при регистрации на новое место жительство автоматически снимают прежнюю регистрации, специально можно не "выписываться".

В настоящее время снятие с рег. учёта осуществляется по запросу территориального органа ФМС РФ !

реализуемы оба варианта, но правильно будет сняться с регистрационного учета по месту жительства

Можете сначала зарегистрировать в той квартире, а УФМС сама снимет с регистрационного учета по прежнему месту жительства

Если у новой жены квартира в собственности, тогда прописаться можно по двум схемам:
1. По месту своей прописки ваша жена пишет заявление и вы тоже, Вас сначала автоматически выписывают и сразу же прописывают, и уже потом УФМС жены само уведомляет ваше отделение УФМС о вашем снятии с регистрационного учета.
2. Вы в своем паспортном столе пишете заявление о снятии с регистрационного учета, пишите в заявлении. адрес выбытия и прикладываете свидетельство о собственности на квартиру новой жены. Вас выписывают, так сказать, в никуда. А потом с женой вы сами едете прописываться по её адресу
Если квартира у жены в социальном найме-тогда только вариант №1("автоматический)

Автоматически только автомат стреляет. Нужно выписываться.