В каких случаях в конце решения тригон. уравнений, в конце пишется +2пиk, а в каких просто +пиk

А бывает и 4пик и пик/2, и много других разных "пик".
Все зависит от периода функции из которой находится решение.
Например:
tgx или sin2x или cos2x будет пик
tg(x/2) или sinx или cosx будет 2пик
и т. д.